Question

【题目】已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（I）求的方程；

（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程

Answer 1

【答案】（I）（II）或

【解析】

试题分析：（I）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件列出关于的两个独立条件及，结合，解方程组得，（II）对于三角形面积问题，一般利用点到直线距离公式求三角形的高，利用弦长公式求三角形底边边长.先设直线方程，注意分类讨论斜率不存在情形，根据点到直线的距离公式得高，将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理及弦长公式得：，，这样可得的面积，最后根据分式函数求最值方法求最值：一般方法为整体换元，即设，则，，利用基本不等式求最值，确定斜率，即直线方程

试题解析：（I）设，由条件知，得，又，所以，，故的方程为

（II）当轴时不合题意，故可设，，

将代入中得，当时,即,

由韦达定理得

从而

又点到直线的距离为

所以的面积

法一：设，则，，因为,当且仅当，即时等号成立，且满足.所以当的面积最大时，的方程为或

法二：令，则

当时， 即 ， ，时等号成立，且满足.

所以的面积最大时，的方程为或