Question

【题目】函数．

（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；

（2）若函数在上不单调时；

①记在上的最大值、最小值分别为，求；

②设，若，对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

试题分析：（1）先转化：分段函数在上为增函数，各段都为增函数且在结合点处（本题连续，不需讨论）也单调递增，因此只需在为增函数，所以（2）①先根据函数在上不单调，得，而此时函数为先增再减再增，即在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，因此根据定义区间与单调区间位置关系分类讨论，确定最值，最后列出函数解析式②先转化不等式恒成立：由得，所以，对恒成立，等价于在上的值域是的子集，由①中最值情况可得满足条件：当时，，当时，，当时，，再研究对应函数的取值范围，最后求并集得结果

试题解析：由已知得，．．．．．．．．．．．．．1分

令，则，所以在上为增函数；．．．．．．．．．2 分

令，则，

令，得，所以在和上是增函数，

在上为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分

（1）因为在上是增函数，所以在为增函数，所以．．．．．．．．．．．．4分

（2）因为函数在上不单调，所以，

①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

所以．．．．．．．．．．．．5分

当，即时，，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

当，即时， ，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

当时，在上是减函数，

所以，故，

综上得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

②对恒成立，即在上的值域是的子集，

当时，，即，所以，

令，易得在上是增函数，

则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

当时，，即，所以，

令，易得在上是增函数，

则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

当时，，即，即，

所以，所以，综上得．．．．．．．．．．．．．12分