Question

已知抛物线及点，直线的斜率为1且不过点P，与抛物线交于A,B两点。
（1） 求直线在轴上截距的取值范围；
（2） 若AP,BP分别与抛物线交于另一点C,D,证明：AD、BC交于定点。

Answer 1

（1）；（2）设A,B两点的坐标分别为，直线AD的方程为，当时，
即直线AD与轴的交点为，同理可得BC与轴的交点也为
所以AD、BC交于定点  .

试题分析：（1） 设直线的方程为，由于直线不过点P，因此
由 得
由 解得
所以直线在轴上截距的取值范围是。           
（2） 证明：设A,B两点的坐标分别为
因为AB的斜率为1，所以
设点D坐标为,因为B,P,D共线，所以
得
直线AD的方程为
当时，
即直线AD与轴的交点为
同理可得BC与轴的交点也为
所以AD、BC交于定点  .
点评：直线与圆锥曲线综合应用的有关问题，其特点是计算量特别大，且较为复杂。因此，我们在计算的时候一定要仔细、认真，要做到会的得满分，不会的尽量多得步骤分。