题目内容
【题目】如图,在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:以D为原点,建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示:
则A(3,0,0),C1=(0,3,3),D1=(0,0,3),E(3,0,2)
∴ =(﹣3,3,3),
=(3,0,﹣1)
∴cosθ= =
=﹣
则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为
(2)解:B(3,3,0), =(0,﹣3,2),
=(3,0,﹣1)
设平面BED1F的一个法向量为 =(x,y,z)
由 得
令x=1,则 =(1,2,3)
则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为
| |=
=
【解析】(1)以以D为原点,建立空间直角坐标系D﹣xyz,则我们易求出已知中,各点的坐标,进而求出向量 ,
的坐标.代入向量夹角公式,结合异面直线夹角公式,即可得到答案.(2)设出平面BED1F的一个法向量为
,根据法向量与平面内任一向量垂直,数量积为0,构造方程组,求出平面BED1F的法向量为
的坐标,代入线面夹角向量公式,即可求出答案.
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