题目内容
【题目】(已知函数f(x)=|2x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≤2的解集为M.
(1)求M;
(2)记集合M的最大元素为m,若正数a,b,c满足abc=m, 求证: .
【答案】
(1)解:f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|≤2化为: 或
或
或
所以集合M={x|﹣5≤x≤1}
(2)解:集合M中最大元素为m=1,所以abc=1,其中a>0,b>0,c>0
因为 ,
,
,
三式相加得: ,
所以
【解析】(1)由零点分段法,分类讨论,即可求M;(2)abc=1,利用基本不等式,即可证明结论.
【考点精析】掌握不等式的证明是解答本题的根本,需要知道不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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