题目内容
【题目】已知椭圆:
的上下两个焦点分别为
,
,过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点,
的面积为
,椭圆
的离心力为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,直线
:
与
轴交于点
,与椭圆
交于
,
两个不同的点,若存在实数
,使得
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ)根据题目条件,由椭圆焦点坐标和对称性计算的面积,建立等式关系,结合关系式
,离心率计算公式,问题可得解;(Ⅱ)由题意,可分直线是否过原点,对截距
进行分类讨论,再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.
试题解析:(Ⅰ)根据已知椭圆的焦距为
,当
时,
,
由题意的面积为
,
由已知得,∴
,∴
,
∴椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)若,则
,由椭圆的对称性得
,即
,
∴能使
成立.
若,由
,得
,
因为,
,
共线,所以
,解得
.
设,
,由
得,
由已知得,即
,
且,
,
由,得
,即
,∴
,
∴,即
.
当时,
不成立,∴
,
∵,∴
,即
,
∴,解得
或
.
综上所述, 的取值范围为
.
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