题目内容
【题目】已知函数 (
是常数),
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,函数
有零点,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(Ⅱ)或
.
【解析】试题分析:
(1)首先求解导函数,然后结合参数的范围分类讨论即可得到函数的单调区间;
(2)结合(1)的结论讨论函数的最值,结合题意得到关于实数a的不等式,求解不等式可得的取值范围是
或
.
试题解析:
(1) 根据题意可得,当时,
,函数在
上是单调递增的,在
上是单调递减的,
当时,
,因为
,
令,解得
或
①当时,函数
在
,
上有
,即
,函数
单调递减;函数
在
上有
,即
,函数
单调递增;
②当时,函数
在
上有
,即
,函数
单调递增;函数
在
上有
,即
,函数
单调递减;
综上所述,当时,函数
的单调递增区间
,递减区间为
;
当时,函数
的单调递减区间为
,递增区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,递减区间为
;
(1)①当时,
可得
,故
可以;
②当时,函数
的单调递减区间为
,递增区间为
,
(Ⅰ) 若,解得
;
可知: 时,
是增函数,
时,
是减函数,
由在
上
;
解得,所以
;
(Ⅱ)若,解得
;
函数在
上递增,
由,则
,解得
由,即此时无解,所以
;
③当时,函数
在
上递增,类似上面
时,此时无解,
综上所述, 或
.
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