题目内容
【题目】已知对任意的n∈N* , 存在a,b∈R,使得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b)
(1)求a,b的值;
(2)用数学归纳法证明上述恒等式.
【答案】
(1)解:由题意1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b),
上述等式分别取n=1,2得 ,解得 ,
(2)解:由(1)得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (n2﹣1),
证明:①当n=1时,左边=1×(12﹣12)=0,右边= ×12(12﹣1)=0,等式成立,
②假设当n=k时,等式成立,即1×(k2﹣12)+2×(k2﹣22)+3×(k2﹣32)+…+k(k2﹣k2)= k2(k2﹣1),
则当n=k+1时,左边=1×[(k2﹣12)+(2k+1)]+2×[(k2﹣22)+(2k+1)]+…+k[(k2﹣k2)+(2k+1)],
=1×(k2﹣12)+2×(k2﹣22)+3×(k2﹣32)+…+k(k2﹣k2)+(2k+1)(1+2+3+…+k),
= k2(k2﹣1)+(2k+1) k(k+1),
= k(k+1)(k2+3k+2),
= (k+1)2k(k+2),
= (k+1)2[(k+1)2﹣1],
所以当n=k+1时等式成立,
综上所述,对任意n∈N*,原等式成立.
【解析】(1)分别取n=1,2,得到关于a,b的方程组解得即可,(2)先根据当n=1时,把n=1代入求值等式成立;再假设n=k时关系成立,利用变形可得n=k+1时关系也成立,综合得到对于任意n∈N*时都成立
【考点精析】利用数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.