题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=,AC=3, BC=2,P是△ABC内的一点.
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点,求PA的长;
(2)若∠BPC=,设∠PCB=θ,求△PBC的面积S(θ)的解析式,并求S(θ)的最大值.
【答案】(1) (2)S(θ)=
,S(θ)的最大值为
【解析】试题分析:(1)在△PAC中,已知两边一角求第三边,根据余弦定理可得(2)先由正弦定理用θ表示PC,再根据三角形面积公式得S(θ),利用二倍角公式以及配角公式将S(θ)化为基本三角函数形式,再根据正弦函数性质求最大值
试题解析: 解 (1)解法一:∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点,且BC=2,
∴∠PCB=,PC=
,
又∵∠ACB=,∴∠ACP=
,
在△PAC中,由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos=5,∴PA=
.
解法二:依题意建立如图直角坐标系,则有C(0,0),B(2,0),A(0,3),
∵△PBC是等腰直角三角形,∠ACB=
,
∴∠ACP=,∠PBC=
,
∴直线PC的方程为y=x,直线PB的方程为y=-x+2,
由得P(1,1),
∴PA==
,
(2)在△PBC中,∠BPC=,∠PCB=θ,
∴∠PBC=-θ,
由正弦定理得=
=
,
∴PB=sinθ,PC=
sin
,
∴△PBC的面积S(θ)=PB·PCsin
=sin
sinθ
=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+
cos2θ-
=sin
-
,θ∈
,
∴当θ=时,△PBC面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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