题目内容
【题目】已知函数f（x）=log2（16x+k）﹣2x （k∈R）是偶函数．
（1）求k；
（2）若不等式m﹣1≤f（x）≤2m+log217在x∈[﹣1， 
]上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解：∵f（x）=log2（16x+k）﹣2x=log2（4x+ 
），
∴f（﹣x）=log2（4﹣x+ 
）=log2（k4x+4﹣x），
由f（﹣x）=f（x）恒成立，得k=1
（2）解：∵log2（4x+4﹣x），令t=4x，由x∈[﹣1， 
]，
∴t∈[ 
，2]，
∵函数y=t+ 
在[ ，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴当t=1时，即x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=1，
∴当t= 时，即x=﹣1时，函数f（x）有最大值f（﹣1）=log2 
，
∵m﹣1≤f（x）≤2m+log217在x∈[﹣1， ]上恒成立，
∴m﹣1≤1且log2 ≤2m+log217．
解得﹣1≤m≤2
故m的取值范围为[﹣1，2]
【解析】（1）由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）恒成立可求；（2）不等式m﹣1≤f（x）≤2m+log217在x∈[﹣1， ]上恒成立，求出函数f（x）最值即可．
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