Question

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且＝3.求过O，A，B三点的圆的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）x²＋y²－x－y＝0.

(1)由题意，设椭圆C：＝1(a＞b＞0)，则2a＝4，a＝2.
因为点(2，1)在椭圆＝1上，所以＋＝1，解得b＝.
所以所求椭圆的方程为＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(y₁＜0，y₂＞0)．点F的坐标为F(3，0)．
则＝3.，得即①
又点A，B在椭圆C上，所以解得?
所以B，代入①，得点A的坐标为(2，－)．
因为·＝0，所以OA⊥AB.
所以过O，A，B三点的圆就是以OB为直径的圆．
其方程为x²＋y²－x－y＝0.