Question

已知为椭圆的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 .
（1）证明： 成等比数列；
(2)若的坐标为，求椭圆的方程；
（3）在(2)的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程．

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）

试题分析：（1）由条件知M点的坐标为（c，y₀），其中|y₀|=d，知，d=b•＝，由此能证明d，b，a成等比数列．
（2）由条件知c＝，d＝1，知b²＝a?1，a²＝b²+2，由此能求出椭圆方程．
（3）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当l⊥x轴时，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程得(1+2k²)x²+4k²x+4k²?4＝0再由韦达定理能够推导出直线的方程．
试题解析：(1)证明：由条件知M点的坐标为，其中，
， ，即成等比数列．   3分
(2)由条件知，椭圆方程为 6分
（3）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当l⊥x轴时，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程得(1+2k²)x²+4k²x+4k²?4＝0所以①由得
整理后把①式代入解得k=，
所以直线l的方程为.