题目内容
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
(1) ;(2)
试题分析:(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(一3,0),一条渐近线的方程是,两个条件即可求出双曲线的方程.
(2)依题意可得通过假设直线的方程,联立双曲线方程消去y,即可得到一个关于x的二次方程,运用韦达定理以及判别式要大于零,即可写出线段MN的中垂线的直线方程,从而求出直线与两坐标轴的交点,即可表示出所求的三角形的面积,从而得到一个等式结合判别式的关系式,即可得到结论.
试题解析:(1)设双曲线的方程为,
由题设得 解得,所以双曲线的方程为;
(2)设直线的方程为,点,的坐标满足方程组,将①式代入②式,得,
整理得,此方程有两个不等实根,于是,
且,
整理得.③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足:
,,从而线段的垂直平分线的方程为,此直线与轴,轴的交点坐标分别为,,
由题设可得,整理得,,
将上式代入③式得,整理得,,解得或, 所以的取值范围是.
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