Question

（本小题满分12分）已知函数，，
（1）求函数的最值；
（2）对于一切正数，恒有成立，求实数的取值组成的集合。

Answer 1

（1）函数在（0，1）递增，在递减。的最大值为.
（2）。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）求解导数，然后根据导数的符号与函数单调性的关系得到判定，求解极值和最值。
（2）要证明不等式恒成立，那么可以通过研究函数的最值来分析得到参数的范围。
解：（1）

所以可知函数在（0，1）递增，在递减。
所以的最大值为.
（2）令函数
得
当时，恒成立。所以在递增，
故x>1时不满足题意。
当时，当时恒成立，函数递增；
当时恒成立，函数递减。
所以;即 的最大值 
令 ,则
令函数  ,
所以当时，函数递减；当时，函数递增；
所以函数，
从而
就必须当时成立。
综上。