题目内容
(本小题满分12分)
已知函数.().
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,有成立,求实数的取值范围.
已知函数.().
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,有成立,求实数的取值范围.
(1),(2)
(1)当a=1时,可利用导数研究其极值,根据极值点左正右负为极大值,极值点左负右正为极小值,确定其极值.
(2)本小题实质是由,∴对,成立,
即对成立,然后再对x讨论去绝对值分离常数进一步转化为不等式恒成立问题来解决.
解:(1)当时,
=,----------------------------2分
令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
------------------------4分
∴当时,函数有极大值,----------------5分
当时函数有极小值,---------------------------6分
(2)∵,∴对,成立,
即对成立,----------------------------------7分
①当时,有,
即,对恒成立, -----------------8分
∵,当且仅当时等号成立,
∴---------------------9分
②当时,有,
即,对恒成立,
∵,当且仅当时等号成立,
∴----------11分
③当时,
综上得实数的取值范围为.----------------12分
(2)本小题实质是由,∴对,成立,
即对成立,然后再对x讨论去绝对值分离常数进一步转化为不等式恒成立问题来解决.
解:(1)当时,
=,----------------------------2分
令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
x | 1 | ||||
+ | 0 | 0 | + | ||
单调递增 | 极大 | 单调递减 | 极小 | 单调递增 |
∴当时,函数有极大值,----------------5分
当时函数有极小值,---------------------------6分
(2)∵,∴对,成立,
即对成立,----------------------------------7分
①当时,有,
即,对恒成立, -----------------8分
∵,当且仅当时等号成立,
∴---------------------9分
②当时,有,
即,对恒成立,
∵,当且仅当时等号成立,
∴----------11分
③当时,
综上得实数的取值范围为.----------------12分
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