题目内容

(本小题满分12分)
已知函数.().
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,有成立,求实数的取值范围.
(1)(2)
(1)当a=1时,可利用导数研究其极值,根据极值点左正右负为极大值,极值点左负右正为极小值,确定其极值.
(2)本小题实质是由,∴对成立,
成立,然后再对x讨论去绝对值分离常数进一步转化为不等式恒成立问题来解决.
解:(1)当时,
=,----------------------------2分
,解得.
变化时,的变化情况如下表:
x



1


+
0

0
+

单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
------------------------4分
∴当时,函数有极大值,----------------5分
时函数有极小值,---------------------------6分
(2)∵,∴对成立,
成立,----------------------------------7分
①当时,有
,对恒成立, -----------------8分
,当且仅当时等号成立,
---------------------9分
②当时,有
,对恒成立,
,当且仅当时等号成立,
----------11分
③当时,
综上得实数的取值范围为.----------------12分
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