题目内容
设
的定义域为
,
的导函数为
,且对任意正数
均有
,
(1)判断函数
在
上的单调性;
(2)设
,比较
与
的大小,并证明你的结论;
(3)设
,若
,比较
与
的大小,并证明你的结论.






(1)判断函数


(2)设



(3)设




(Ⅰ)
在
上是增函数.
(Ⅱ)
.
(Ⅲ)



(Ⅱ)

(Ⅲ)


(Ⅰ)由于
得,
,而
,则
,
则
,因此
在
上是增函数.
(Ⅱ)由于
,
,则
,而
在
上是增函数,
则
,即
,∴
(1),
同理
(2)
(1)+(2)得:
,而
,
因此
.
(Ⅲ)证法1: 由于
,
,则
,而
在
上是增函数,则
,即
,
∴
同理

以上
个不等式相加得:

而


证法2:数学归纳法
(1)当
时,由(Ⅱ)知,不等式成立;
(2)当
时,不等式
成立,
即
成立,
则当
时, 

+
再由(Ⅱ)的结论,
+

+

因此不等式

对任意
的自然数均成立.




则




(Ⅱ)由于






则



同理

(1)+(2)得:


因此

(Ⅲ)证法1: 由于








∴

同理


以上


而



证法2:数学归纳法
(1)当

(2)当




即


则当





再由(Ⅱ)的结论,






因此不等式





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