Question

（本小题满分12分）已知函数，且函数的图象关于原点对称，其图象在处的切线方程为 （1）求的解析式；  （2）是否存在区间使得函数的定义域和值域均为，且其解析式为f(x)的解析式？若存在，求出这样的一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

（1）∵的图象关于原点对称，∴恒成立，即∴又的图象在处的切线方程为
即……2分∴，且而 ∴ ……3分∴ 解得 故所求的解析式为……6分
（2）解 得或又，由得且当或时，  ………8分
当时∴在和递增;在上递减。…9分
∴在上的极大值和极小值分别为
而故存在这样的区间其中一个区间为…12分