Question

已知函数f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

Answer 1

(Ⅰ) f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R)  (Ⅱ)  见解析

（I）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，
∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，
由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R).
（II）方程f(x)＋＝0等价于方程2x³－10x²＋37＝0，
设h(x)＝2x³－10x²＋37，则h¢(x)＝6x²－20x＝2x(3x－10)，
当x∈(0，)时，h¢(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)是增函数，
∵h(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间(3，)、(，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根.