题目内容
【题目】若存在实数使得
则称
是区间
的
一内点.
(1)求证:的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)若实数满足:
求证:存在
,使得
是区间
的
一内点;
(3)给定实数,若对于任意区间
,
是区间的
一内点,
是区间的
一内点,且不等式
和不等式
对于任意
都恒成立,求证:
【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析
【解析】
(1)先理解定义,再由已知证明的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)用作差法判断的大小关系,得
,结合(1)即可得证;
(3)由已知可得恒成立,由二次不等式恒成立问题可得
,且
,解得
,同理
,即可得解.
解:(1)①若是区间
的
一内点,
则存在实数使得
,则
,
②若,取
,则
,且
,
则是区间
的
一内点,
故的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)由,
,
则,由(1)知,存在
,使得
是区间
的
一内点;
(3)因为是区间的
一内点,则
则恒成立,
则恒成立,
当时,上式不可能恒成立,
因此,
所以,
即,即
,
同理,
故.
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