题目内容
【题目】已知数列,如果存在常数p,使得对任意正整数n,总有成立,那么我们称数列为“p-摆动数列”.
(Ⅰ)设,,,判断、是否为“p-摆动数列”,并说明理由;
(Ⅱ)已知“p-摆动数列”满足,,求常数p的值;
(Ⅲ)设,且数列的前n项和为,求证:数列是“p-摆动数列”,并求出常数p的取值范围.
【答案】(Ⅰ)数列不是“p-摆动数列”,数列是“p-摆动数列”,详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析,p的取值范围是.
【解析】
(Ⅰ)假设数列是“p-摆动数列”,通过对取特殊值,可以证明出数列不是“p-摆动数列”;
通过数列的通项公式和指数运算的法则,结合“p-摆动数列”的定义,可以证明出数列是“p-摆动数列”;
(Ⅱ)利用递推公式,可以求出的值,由是“p-摆动数列”,这样可以求出常数p的取值范围,通过是“p-摆动数列”的定义,可以得到奇数项、偶数项与p的大小关系,这样利用通项公式最后可以求出常数p的值;
(Ⅲ)分类讨论:分别当n为偶数时、当n为奇数时,求出,最后确定的表达式,根据“p-摆动数列”的定义,可以证明数列是“p-摆动数列,分别当n为奇数时、当n为偶数时,利用的单调性,求出常数p的取值范围即可.
解:(Ⅰ)假设数列是“p-摆动数列”,
即存在常数p,总有对任意成立,
不妨取时,则;取时,则,显然常数p不存在,
所以数列不是“p-摆动数列”
由,于是对任意成立,其中.
所以数列是“p-摆动数列”.
(Ⅱ)由数列为“p-摆动数列”,又,
所以,即存在常数,使对任意,总有成立,及,所以.
因为,所以.
同理因为,所以.所以,即,
解得,即.
同理,解得,即.
综上.
(Ⅲ)证明:由,.
当n为偶数时,;
当n为奇数时,.
所以,.
显然存在,使对任意正整数n,总有成立,
所以数列是“p-摆动数列”.
当n为奇数时,因为,单调递减,所以,只要即可.
当n为偶数时,单调递增,,只要即可.
综上,,所以p的取值范围是.
【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”, 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程;
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式: , .
参考数据: .