题目内容
【题目】已知数列满足
,且
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)若,求证
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】
(1)数列{an}满足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,可得,利用“累乘求积”方法即可得出.
(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
(3),可得
.利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出.
(1)解:∵数列{an}满足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,∴,
∴an…
3n﹣1
3=n3n.
(2)解:数列{an}的前n项和Sn=3+2×32+3×33+…+n3n,
3Sn=32+2×33+…+(n﹣1)3n+n3n+1,
∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n3n+1n3n+1,
∴Sn3n+1
.
(3),∴
.
∴
1
∈
.
∴1.
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