题目内容
【题目】如图,椭圆:
的左、右焦点分别为
,椭圆
上一点
与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为
,
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线
交椭圆
于
两点,问在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?证明你的结论.
【答案】(1)(2)存在定点
,使得
为定值.
【解析】
(Ⅰ)根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
,即可得结果;(Ⅱ)设出直线方程,直线方程与椭圆方程联立,消去
可得关于
的一元二次方程,
表示为
,利用韦达定理化简可得
,令
可得结果.
(Ⅰ)由题设得,又
,解得
,∴
.
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ),当直线
的斜率存在时,设此时直线
的方程为
,
设,
,把
代入椭圆
的方程
,消去
并整理得,
,则
,
,
可得.设点
,
那么,
若轴上存在定点
,使得
为定值,则有
,解得
,
此时,,
当直线的斜率不存在时,此时直线
的方程为
,把
代入椭圆方程
解得
,
此时,,
,
,
综上,在轴上存在定点
,使得
为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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平均每月进行训练的天数 | |||
人数 | 15 | 60 | 25 |
(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率.从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人,求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率;
(2)依据统计表,用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个,再从抽取的12个人中随机抽取3个,表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数,求
的分布列及数学期望