题目内容
【题目】在四棱柱中,
平面
,底面
是边长为
的正方形,
与
交于点
,
与
交于点
,且
.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)求的长度;
(Ⅲ)求直线与
所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)的长度等于
.(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)在以中,利用中位线定理证明
,再由线面平行的判定定理得证;
(Ⅱ)由已知说明,
,
两两垂直,进而可建立空间直角坐标系,再分别表示点的坐标,即可表示
,
的坐标,由向量垂直的数量积为零构建方程求得答案;
(Ⅲ)由数量积的坐标运算求夹角的余弦值.
(Ⅰ)证明:由已知,四棱柱中,四边形
与四边形
是平行四边形,所以
,
分别是
,
的中点.
所以中,
.
因为平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)因为平面
,
,
所以平面
,所以
,
,
又正方形中
,所以以
为原点,
,
,
分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系.
设,所以
,
,
,
,
,
.
因为,所以
,
解得,所以
的长度等于
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
,
设直线与
所成角为
,
所以.
即直线与
所成角的余弦值为
.
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