Question

【题目】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（x﹣1）2+y2=2．

【解析】试题分析：（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．

（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．

∴．

∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：

，，不符合题意．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），

由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0

显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

又

即，

又圆F2的半径，

所以，

化简，得17k4+k2﹣18=0，

即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1

所以，，

故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．