题目内容
【题目】在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为的圆柱,其轴截面如图所示.设两个圆柱体积之和为
.
(1)求的表达式,并写出
的取值范围;
(2)求两个圆柱体积之和的最大值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】试题分析:(1)圆柱的高、底面的半径和球的半径是一个直角三角形的三边,故可以得到两个圆柱的底面半径分别为,
,由此可以计算出两个圆柱的体积之和以及
的取值范围.(2)因为
,利用导数讨论该函数的单调性,从而求得
的最大值为
.
解析:(1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为: ,
.它们的高均为
,所以体积之和
.
因为,所以
的取值范围是
.
(2) 由,得
,令
,因为
,得
. 所以当
时,
;当
时,
.所以
在
上为增函数,在
上为减函数,所以当
时,
取得极大值也是最大值,
的最大值为
.
答:两个圆柱体积之和的最大值为
.
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