题目内容
【题目】如图,已知三棱柱,侧面
.
(Ⅰ)若分别是
的中点,求证:
;
(Ⅱ)若三棱柱的各棱长均为2,侧棱
与底面
所成的角为
,问在线段
上是否存在一点
,使得平面
?若存在,求
与
的比值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2)2
【解析】试题分析:(1)由线面平行的判定定理证明,MN∥BC1,所以MN∥平面BCC1B1.(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解。
试题解析:
解:(1)证明:连接AC1,BC1,
则AC1∩A1C=N,AN=NC1,
因为AM=MB,所以MN∥BC1.
又BC1平面BCC1B1,
所以MN∥平面BCC1B1.
(2)作B1O⊥BC于O点,连接AO,
因为平面BCC1B1⊥底面ABC,
所以B1O⊥平面ABC,
以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),B1(0,0,
).由
=
=
,可求出A1(1,
,
),C1(2,0,
),
设点P(x,y,z), =λ
.
则P,
=
,
=(-1,0,
).
设平面B1CP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
由
得
令z1=1,解得n1=.
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2=(,1,-1).
由平面B1CP⊥平面ACC1A1,
得n1·n2=0,即3+-1=0,
解得λ=3,所以A1C1=3A1P,
从而C1P∶PA1=2.
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |