Question

12．已知点P（x，y）在曲线$\left\{\begin{array}{l}x=-2+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数，且θ∈[π，2π））上，则点P到直线$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-t\end{array}\right.（t$为参数）的距离的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$]
• B． [$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$-1，$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$+1]
• C． （$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$+1]

Answer 1

分析 消去参数，转化为普通排除，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：消去参数θ，得曲线的标准方程为（x+2）²+y²=1，
∵θ∈[π，2π），∴-1≤cosθ＜1，即-3≤-2+cosθ＜-1，即-3≤x＜-1
其图象是圆心为（-2，0），半径为1的圆的一部分，
消去参数t得直线的方程为x+y-1=0，
则圆心到直线的距离加上半径为所求距离的最大值，
即圆心到直线的距离d=$\frac{|-2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则距离的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1，
点（-1，0）到直线的距离最小，
此时点（-1，0）到直线的距离d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，但取不到．
故点P到直线的距离的取值范围是（$\sqrt{2}$，$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$+1]，
故选：D

点评 本题主要考查点到直线的距离的计算，根据参数方程和普通方程之间的关系，转化为普通方程是解决本题的关键．