题目内容

7.设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x,x<0}\\{-{x}^{2},x≥0}\end{array}\right.$,则f(1)=-1,若f(f(a))≤3,则实数a的取值范围是(-∞,$\sqrt{3}$].

分析 由已知中函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x,x<0}\\{-{x}^{2},x≥0}\end{array}\right.$,将x=1代入,可求出f(1);再讨论f(a)的正负,代入求出f(a)≥-3,再讨论a的正负,求实数a的取值范围.

解答 解:∵函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x,x<0}\\{-{x}^{2},x≥0}\end{array}\right.$,
∴f(1)=-12=-1,
①若f(a)<0,则f2(a)+2f(a)≤3,
解得,-3≤f(a)≤1,
即-3≤f(a)<0,
②若f(a)≥0,则-f2(a)≤3,显然成立;
则f(a)≥-3,
③若a<0,则a2+2a≥-3,
解得,a∈R,
即a<0.
④若a≥0,则-a2≥-3,
解得,0≤a≤$\sqrt{3}$,
综上所述,实数a的取值范围是:(-∞,$\sqrt{3}$].
故答案为:-1;(-∞,$\sqrt{3}$].

点评 本题考查了分段函数的应用,再已知函数值的范围时,要对自变量讨论代入函数求解,属于基础题.

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