Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，则f（1）=-1，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是（-∞，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，将x=1代入，可求出f（1）；再讨论f（a）的正负，代入求出f（a）≥-3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，
∴f（1）=-1²=-1，
①若f（a）＜0，则f²（a）+2f（a）≤3，
解得，-3≤f（a）≤1，
即-3≤f（a）＜0，
②若f（a）≥0，则-f²（a）≤3，显然成立；
则f（a）≥-3，
③若a＜0，则a²+2a≥-3，
解得，a∈R，
即a＜0．
④若a≥0，则-a²≥-3，
解得，0≤a≤$\sqrt{3}$，
综上所述，实数a的取值范围是：（-∞，$\sqrt{3}$]．
故答案为：-1；（-∞，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了分段函数的应用，再已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于基础题．