Question

设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数；f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为________．

Answer 1

4

∵f′(x)＞0，x∈(0，π)且x≠.
∴当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)在上递减．
当＜x＜π时，f′(x)＞0，f(x)在上递增．
∵x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1.∴当x∈[π，2π]，则0≤2π－x≤π.
又f(x)是以2π为最小正周期的偶函数，
知f(2π－x)＝f(x)．∴x∈[π，2π]时，仍有0＜f(x)＜1.
依题意及y＝f(x)与y＝sin x的性质，在同一坐标系内作y＝f(x)与y＝sin x的简图．

则y＝f(x)与y＝sin x，x∈[－2π，2π]有4个交点．
故函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上有4个零点．