题目内容
设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
(1)
(2)见解析
(2)见解析(1)f′(x)＝1＋2ax＋
，
由题设，y＝f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.
∴
解之得
因此实数a，b的值分别为－1和3.
(2)f(x)定义域(0，＋∞)，且f(x)＝x－x2＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋
＝－
.?
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调减少．
∴g(x)在x＝1处有最大值g(1)＝0
故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
，由题设，y＝f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.
∴
解之得 因此实数a，b的值分别为－1和3.
(2)f(x)定义域(0，＋∞)，且f(x)＝x－x2＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋
＝－.?当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调减少．
∴g(x)在x＝1处有最大值g(1)＝0
故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
练习册系列答案
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．
的单调区间；
有解，求实数m的取值范围；
，使
成立，求证：
．
为实常数，函数
.
的单调性；
；
且
.（注：
为自然对数的底数）
，（
且
）.
，令
，试判断函数
在
上的单调性并证明你的结论；
且
的定义域和值域都是
的最大值；
对
恒成立，求实数
的取值范围；
ax2－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是______．
时，
f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为________．
x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．