Question

20．已知椭圆mx²+4y²=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则实数m等于2或8．

Answer 1

分析 分类求出椭圆的长半轴长和半焦距，代入椭圆离心率求得实数m的值．

解答 解：由mx²+4y²=1，得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，
若$\frac{1}{m}＞\frac{1}{4}$，得0＜m＜4，此时$a=\frac{\sqrt{m}}{m}$，${c}^{2}=\frac{1}{m}-\frac{1}{4}=\frac{4-m}{4m}$，$c=\frac{\sqrt{m（4-m）}}{2m}$，
则$\frac{\frac{\sqrt{m（4-m）}}{2m}}{\frac{\sqrt{m}}{m}}=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：m=2；
若$\frac{1}{m}＜\frac{1}{4}$，得m＞4，此时$a=\frac{1}{2}$，${c}^{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{m}=\frac{m-4}{4m}$，$c=\frac{\sqrt{m（m-4）}}{2m}$，
则$\frac{\frac{\sqrt{m（m-4）}}{2m}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{m（m-4）}}{m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：m=8．
故答案为：2或8．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．