题目内容
7．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f5（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x），f6（x）=xcosx．（1）从中任意取2张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；
（2）在（1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数的概率；
（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶后寒素的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．
分析 （I）?列出事件判断基本事件总数为${C}_{3}^{1}$${C}_{3}^{1}$${+C}_{3}^{2}$，求解概率即可．
（II）仔细阅读分析得出P=$\frac{1}{3}$，
（III）ξ可取1，2，3，4． 分析概率的求解用到的组合数据，运用概率事件求解即可，列出分布列，求解数学期望．
解答 解：（Ⅰ）f1（x）=x3为奇函数；f2（x）=5|x|为偶函数；f3（x）=2为偶函数；
f4（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$为奇函数；f5（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）为偶函数； f6（x）=xcosx为奇函数，
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为${C}_{3}^{1}$${C}_{3}^{1}$${+C}_{3}^{2}$
故所求概率为P=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}{+C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
（Ⅱ）∵$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$
P═$\frac{1}{3}$，
（Ⅲ） P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$×$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）═$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}}$×$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$×$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}}$×$\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$×$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{20}$；
故ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{1}{20}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一
| A． | （-∞，1] | B． | [0，1] | C． | （0，1] | D． | （-∞，0）∪（0，1] |
已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=sin 2x的图象，则只需将f （x）的图象（ ）| A． | 向右平移 $\frac{π}{6}$个长度单位 | B． | 向右平移 $\frac{π}{12}$个长度单位 | ||
| C． | 向左平移$\frac{π}{6}$个长度单位 | D． | 向左平移 $\frac{π}{12}$个长度单位 |
在四棱锥P-ABCD中（如图），底面ABCD是直角梯形，M为PC中点，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中点．