Question

12．若函数变为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-a，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-a，x≤0}\end{array}\right.$，若函数y=f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 转化为函数y=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$与y=a的图象有3个交点；求导分析函数y=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，从而作出函数的大致图象，从而解得．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-a，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-a，x≤0}\end{array}\right.$有三个零点，
即函数y=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$与y=a的图象有3个交点；
当x＞0时，y=xlnx，y′=lnx+1，
故当lnx+1=0，即x=$\frac{1}{e}$时，y=xlnx有极小值-$\frac{1}{e}$；
当x≤0时，y=-x²-2x在x=-1时有极大值1；
作函数y=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$的图象如右图，
由图象可知，
当-$\frac{1}{e}$＜a＜1时，函数y=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$与y=a的图象有3个交点；
故答案为：（-$\frac{1}{e}$，1）．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．