Question

4．设曲线f（x）=$\frac{x}{lnx}$在点P（x，f（x））处的切线在y轴上的截距为b，则当x∈（1，+∞）时，b的最小值为（　　）

• A． e
• B． $\frac{e}{2}$
• C． $\frac{{e}^{2}}{2}$
• D． $\frac{{e}^{2}}{4}$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=$\frac{x}{l{n}^{2}x}$，x＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{lnx-x•\frac{1}{x}}{（lnx）^{2}}$=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
则点P（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
则切线方程为Y-$\frac{x}{lnx}$=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$（X-x），
令X=0，则Y=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$•（-x）+$\frac{x}{lnx}$，
即b=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$•x+$\frac{x}{lnx}$=$\frac{x}{（lnx）^{2}}$，
则b′=$\frac{（lnx）^{2}-x•2lnx•\frac{1}{x}}{（lnx）^{4}}$=$\frac{（lnx）^{2}-2lnx}{（lnx）^{4}}$=$\frac{lnx-2}{l{n}^{3}x}$，
当x＞1时，lnx＞0，
由b′=$\frac{lnx-2}{l{n}^{3}x}$＜0得1＜x＜e²，此时函数单调递减，
由b′=$\frac{lnx-2}{l{n}^{3}x}$＞0得x＞e²，此时函数单调递增，
故当x=e²时，函数取得极小值同时也是最小值，此时b=$\frac{{e}^{2}}{（ln{e}^{2}）^{2}}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故选：D

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．