Question

20．已知函数f（x）=log_a（x-2）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域及其图象所过的定点坐标；
（2）若x∈[4，6]时，函数f（x）的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）对数要求真数大于0，从而便可得出该函数定义域为（2，+∞），并且容易看出f（3）=0，这样所过的定点也找到了；
（2）根据对数函数的单调性，讨论a：a＞1，和0＜a＜1，根据每种情况下f（x）的单调性，求出f（x）的最大值，这样即可建立关于a的方程，解方程得出a的值，并判断是否满足a假设的范围．

解答 解：（1）要使函数f（x）有意义，则x-2＞0；
∴x＞2；
∴该函数的定义域为（2，+∞）；
f（3）=0；
∴f（x）的图象过定点（3，0）；
（2）①若a＞1，则f（x）在[4，6]上为增函数；
∴最大值为f（6）=log_a4=2；
∴a²=4；
∴a=2；
②若0＜a＜1，则f（x）为减函数；
∴f（x）在[4，6]上的最大值为f（4）=log_a2=2；
∴a²=2；
∴$a=\sqrt{2}$＞1；
∴这种情况不存在；
∴实数a的值为2．

点评 考查函数定义域的概念，对数函数的定义域的求法，函数图象所过定点的求法，以及对数函数的单调性，根据单调性定义求函数的最大值．