Question

6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则f（0）的值是-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2．由函数当x=$\frac{5π}{12}$时取得最大值2，得到$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=-$\frac{π}{3}$．求得函数解析式，代入即可得到本题的答案．

解答 解：∵在同一周期内，函数在x=$\frac{5π}{12}$时取得最大值，x=$\frac{11π}{12}$时取得最小值，
∴函数的周期T满足$\frac{T}{2}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$，
由此可得T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），
又∵当x=$\frac{5π}{12}$时取得最大值2，
∴2sin（2•$\frac{5π}{12}$+φ）=2，可得$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴取k=0，得φ=-$\frac{π}{3}$．
∴可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），f（0）=2sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$．
故答案为：-$\sqrt{3}$．

点评 本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．