题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若,求
的最大值;
(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点
共线,求k.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】分析:(1)根据题干可得的方程组,求解
的值,代入可得椭圆方程;(2)设直线方程为
,联立,消
整理得
,利用根与系数关系及弦长公式表示出
,求其最值;(3)联立直线与椭圆方程,根据韦达定理写出两根关系,结合
三点共线,利用共线向量基本定理得出等量关系,可求斜率
.
详解:
(Ⅰ)由题意得,所以
,
又,所以
,所以
,
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,
由消去
可得
,
则,即
,
设,
,则
,
,
则,
易得当时,
,故
的最大值为
.
(Ⅲ)设,
,
,
,
则 ①,
②,
又,所以可设
,直线
的方程为
,
由消去
可得
,
则,即
,
又,代入①式可得
,所以
,
所以,同理可得
.
故,
,
因为三点共线,所以
,
将点的坐标代入化简可得
,即
.
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