Question

【题目】下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x

Answer 1

【答案】C
【解析】解：选项A：f（x）=x2的定义域为R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2 ， ∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数．但y=x2在（0，+∞）上单调递增，故A不正确；
选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；
选项C：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），记f（x）=﹣lg|x|，
∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数
当x∈（0，+∞）时，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上单调递减故C正确；
选项D：记f（x）=﹣2x ， 则f（1）=﹣ ，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函数，故D不正确．
故选：C．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．