Question

12．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）解方程f（x）=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据定义在R上奇函数满足f（0）=0可得b值，进而再由f（1）=-f（-1）可得a值，利用奇函数的定义检验后可得答案；
（2）由（1）知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{4}$，解指数方程可得答案．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，且定义域为R，所以f（0）=0，…（2分）
即$\frac{-1+b}{2+a}$=0，解得b=1．…（4分）
从而有f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$，
又由f（1）=-f（-1）知：
$\frac{-2+1}{4+a}$=-$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$，
解得a=2．…（8分）
∴a=2，b=1（经检验适合题意）．…（9分）
（2）由（1）知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{4}$，
则${2^x}=\frac{1}{3}$，
解得$x={log_2}\frac{1}{3}$…（14分）

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．