Question

3．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x²+y²=b²相切于点M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|PM|×|PF|=$\frac{3}{4}$，求点P的横坐标的值；
（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，b=$\sqrt{3}$，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀），代入椭圆方程，由勾股定理可得|PM|，由焦半径公式可得|PF|，再由已知条件，计算即可得到所求值；
（3）讨论当PM⊥x轴或y轴时，求得P的坐标，设Q（$\sqrt{3}$，t）或（-$\sqrt{3}$，t），由向量垂直的条件，计算可得t；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y-y₀=k（x-x₀），由直线和圆相切的条件，化简整理，设出Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理计算即可所求值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，
即有a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1（0＜x₀＜2），
|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-3}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+3-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-3}$=$\frac{1}{2}$x₀，
|PF|=a-ex₀=2-$\frac{1}{2}$x₀，
由|PM|•|PF|=$\frac{3}{4}$，可得$\frac{1}{2}$x₀•（2-$\frac{1}{2}$x₀）=$\frac{3}{4}$，
解得x₀=1（3舍去），即点P的横坐标的值为1；
（3）当PM⊥x轴或y轴时，P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设Q（$\sqrt{3}$，t）或（-$\sqrt{3}$，t），
由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即为3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=0或-3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=0，
解得t=±2$\sqrt{3}$；
当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y-y₀=k（x-x₀），
即为kx-y+y₀-kx₀=0，由直线PQ与圆O相切，可得
$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即为（kx₀-y₀）²=3+3k²，即2kx₀y₀=k²x₀²+y₀²-3-3k²，
令Q（$\frac{t-{y}_{0}+k{x}_{0}}{k}$，t），由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，可得t=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-k{x}_{0}）}{{y}_{0}+k{x}_{0}}$，
则t²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}}{（{y}_{0}+k{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（3+3{k}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3-3{k}^{2}}$
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（3+3{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）{{x}_{0}}^{2}+（1+{k}^{2}）（3-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}）-3（1+{k}^{2}）}$=12，
解得t=±2$\sqrt{3}$．
综上可得，点Q的纵坐标t的值为±2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查椭圆方程的应用，向量垂直的条件：数量积为0，运算化简的能力，属于中档题．