题目内容

6.已知点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一点,点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,点I为△PF1F2的内心,若△PIF1和△PIF2的面积和为1,则△IF1F2的面积为(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2

分析 设|PF1|=m,|PF2|=n,内切圆的半径长为r,则S1=$\frac{1}{2}$mr,S2=$\frac{1}{2}$nr,S3=$\frac{1}{2}$•2cr,求得椭圆的a,b,c,由题可得r=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{1}{2}$,即可得到所求面积.

解答 解:设|PF1|=m,|PF2|=n,内切圆的半径长为r,
设△PIF1和△PIF2及△IF1F2的面积分别为S1,S2,S3
则S1=$\frac{1}{2}$mr,S2=$\frac{1}{2}$nr,S3=$\frac{1}{2}$•2cr,
椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2,b=$\sqrt{3}$,c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1,
由椭圆定义可得m+n=2a=4,
由△PIF1和△PIF2的面积和为1,
即有S1+S2=1,即r=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{1}{2}$,
即有S3=$\frac{1}{2}$•2cr=cr=r=$\frac{1}{2}$.
故选B.

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查椭圆的定义的运用,考查运算能力,属于中档题.

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