题目内容

11.已知函数f(x)=|x+a|+2|x+1|.
(Ⅰ)当a=-1时,求不等式f(x)>5的解集;
(Ⅱ)若f(x)>|x+1|+3a-7恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)当a=-1时,不等式f(x)>5等价变形,可得结论;
(Ⅱ)若f(x)>|x+1|+3a-7恒成立,即为|x+a|+|x+1|>3a-7|恒成立,利用|x+a|+|x+1|≥|a-1|,求实数a的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)当a=-1时,不等式f(x)>5可化为
$\left\{\begin{array}{l}{x<-1}\\{-3x>6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x>2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{3x>4}\end{array}\right.$,…(3分)
解得x<-2或x>$\frac{4}{3}$,
∴不等式f(x)>5的解集为{x|x<-2或x>$\frac{4}{3}$}.…(5分)
(Ⅱ)原不等式即为|x+a|+|x+1|>3a-7|恒成立,
∵|x+a|+|x+1|≥|a-1|,…(8分)
∴|a-1|>3a-7,解得a<3…(10分)

点评 本题考查绝对值不等式,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

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