Question

15．某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试．学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，各轮考核通过与否相互独立．学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响．
（Ⅰ）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；
（Ⅱ）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生100元，200元，300元，记学生甲获得奖励的金额为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果．
（Ⅱ）根据学生甲得到教育基金的金额为X，X的次数的取值是0元，100元，300元，600元，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可

解答 解：（Ⅰ）设甲通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件A₁，A₂，A₃；通过高校自主招生考试为事件A，乙通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件B₁，B₂，B₃；通过高校自主招生考试为事件B，则事件A₁，A₂，A₃相互独立，事件B₁，B₂，B₃；相互独立，事件A，B相互独立．
P（A）=P（A₁，A₂，A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}$
P（B）=P（B₁B₂B₃）=P（B₁）P（B₂）P（B₃）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
设甲乙恰有一人通过该校自主招生考生为事件C，则C=A$\overline{B}$$+\overline{A}B$，事件$A\overline{B}$与A$\overline{B}$互斥，P（C）=P（A$\overline{B}$$+\overline{A}B$）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}B$）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{3}{5}×\frac{1}{4}=\frac{9}{20}$
（Ⅱ）随机变量X的取值为0，100，300，600
P（X=0）=$\frac{1}{5}$，P（X=100）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{3}=\frac{4}{15}$，P（X=300）=$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{2}{15}$，P（X=600）=$\frac{4}{5}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}$

X	0	100	300	600
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{2}{5}$

EX=$0×\frac{1}{5}+100×\frac{4}{15}+300×\frac{2}{15}$$+600×\frac{2}{5}=\frac{4600}{15}=\frac{920}{3}$

点评 考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．