题目内容
【题目】已知圆,圆
,如图,
分别交
轴正半轴于点
.射线
分别交
于点
,动点
满足直线
与
轴垂直,直线
与
轴垂直.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
交曲线
与点
,射线
与点
,且交曲线
于点
.问:
的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
【答案】(1)(2)是定值,为
.
【解析】
(1) 设,再根据三角函数的关系可得
,
,进而消参求得轨迹
的方程即可.
(2) 设直线的方程为
,再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简
,代入韦达定理求解即可.
解:方法一:(1)如图设,则
,所以
,
.
所以动点的轨迹
的方程为
.
方法二:(1)当射线的斜率存在时,设斜率为
,
方程为
,
由得
,同理得
,所以
即有动点
的轨迹
的方程为
.当射线
的斜率不存在时,点
也满足.
(2)由(1)可知为
的焦点,设直线
的方程为
(斜率不为0时)且设点
,
,由
得
所以,所以
又射线方程为
,带入椭圆
的方程得
,即
,
所以
又当直线的斜率为
时,也符合条件.综上,
为定值,且为
.
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