题目内容
16.已知数列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$(n∈N*)(1)求证:{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式an.
分析 (1)由a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$(n∈N*),两边取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$,变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2})$,即可证明.
(2)由(1)可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$,解出即可.
解答 (1)证明:∵a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$(n∈N*),
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$,
变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2})$.
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列,首项为$\frac{3}{2}$,公比为3;
(2)解:由(1)可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$,
解得an=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$.
点评 本题考查了递推式、等比数列的定义及其通项公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
6.已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2,并且0<x1<1<x2<2,则a2+b2-6b的取值范围是( )
A. | [-1,4) | B. | (-1,4) | C. | (1,4) | D. | [-4,1) |
7.已知一组样本点(xi,yi),(其中i=1,2,3,…,30),变量x与y线性相关,且根据最小二乘法求得的回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$,则下列说法正确的是( )
A. | 至少有一个样本点落在回归直线$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上 | |
B. | 若$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$斜率$\stackrel{∧}{b}$>0,则变量x与y正相关 | |
C. | 对所有的解释变量xi(i=1,2,3,…,30),$\stackrel{∧}{b}$xi+$\stackrel{∧}{a}$的值与yi有误差 | |
D. | 若所有样本点都在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上,则变量间的相关系数为1 |
6.下列四个函数中,在R上单调递增的函数是( )
A. | y=x2 | B. | y=sinx | C. | y=2x | D. | y=log2x |