题目内容

16.已知数列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$(n∈N*
(1)求证:{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式an

分析 (1)由a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$(n∈N*),两边取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$,变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2})$,即可证明.
(2)由(1)可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$,解出即可.

解答 (1)证明:∵a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$(n∈N*),
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$,
变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2})$.
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列,首项为$\frac{3}{2}$,公比为3;
(2)解:由(1)可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$,
解得an=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$.

点评 本题考查了递推式、等比数列的定义及其通项公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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