Question

10．设O为△ABC所在平面上一点，则下列说法中正确的有①③④（填上正确命题的序号）
①若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则O为△ABC的垂心；
②若$|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\overrightarrow{|OC}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，则点O是△ABC的内心；
③若O在△ABC内部，且3$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$=$\frac{5}{3}$；
④若O在△ABC内部，且$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则S_△ABO：S_△BCO：S_△ACO=3：1；2．

Answer 1

分析 ①将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简，再利用向量垂直的充要条件判断出两个向量垂直得到两条线垂直，判断出O为垂心．
②根据向量的减法，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即证出O是△ABC的垂心．
③取BC的中点O，若O在△ABC内部，且3$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，OD=$\frac{5}{3}$AD，可得$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$=$\frac{5}{3}$；
④延长OB到点E，使得$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，分别以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$为邻边作平行四边形OAFE，则$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$，利用$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$，从而可得S_△ABC=2S_△AOB．同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．

解答 解：①若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OB}$=0，∴$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴CA⊥OB，同理OA⊥BC，∴O是△ABC的垂心，正确；
②设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$．
由题可知，$|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\overrightarrow{|OC}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|²，化简可得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，即（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=0$，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，即OC⊥AB．同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．∴O是△ABC的垂心，不正确；
③取BC的中点O，若O在△ABC内部，且3$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，OD=$\frac{5}{3}$AD，则$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$=$\frac{5}{3}$，正确；
④延长OB到点E，使得$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，分别以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$为邻边作平行四边形OAFE．
则$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$，
∵$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{OD}$．∴$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{OD}$，∴S_△ABC=2S_△AOB．
同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．
∴S_△ABO：S_△BCO：S_△ACO=3：1；2
故答案为：①③④．

点评 本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．