题目内容

2.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表:
时间周一周二周三周四周五
车流量x(万辆)5051545758
PM2.5的浓度y(微克/立方米)6970747879
(Ⅰ)根据上表数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$;
(Ⅱ)若周六同一时间段车流量是25万辆,试根据(Ⅰ)求出的线性回归方程预测,此时PM2.5的浓度为多少(保留整数)?
(参考公式:$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^5{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}},\overline y=\hat b•\overline x+\hat a$,参考数据:$\sum_{i=1}^5{x_i}=270,\sum_{i=1}^5{y_i}=370$)

分析 (Ⅰ)根据公式求出b,a,可写出线性回归方程;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的性回归方程,代入x=25求出PM2.5的浓度.

解答 解:(Ⅰ)由条件可知$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$(50+51+54+57+58)=54,$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$(69+70+74+78+79)=74
$\sum_{i=1}^{5}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})$=4×5+3×4+3×4+4×5=64,$\sum_{i=1}^{5}({x}_{i}-\overline{x})^{2}$=50,
∴b=$\frac{64}{50}$=1.28,a=74-1.28×54=4.88,
故y关于x的线性回归方程是:y=1.28x+4.88;
(Ⅱ)当x=25时,y=1.28×25+4.88=36.88≈37,
∴可以预测此时PM2.5的浓度约为37.

点评 本题主要考查了线性回归分析的方法,包括用最小二乘法求参数,以及用回归方程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力.

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