题目内容

15.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序的定义,我们定义“点序”记为“>”:已知M(x1,y1)和N(x2,y2),M>N,当且仅当“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”.定义两点的“⊕”与“?”运算如下:M⊕N=(x1+x2,y1+y2),M?N=x1x2+y1y2则下面四个命题:
①已知P(2015,2014)和Q(2014,2015),则P>Q;
②已知P(2015,2014)和Q(x,y),若P>Q,则x≤2015,且y≤2014;
③已知P>Q,Q>M,则P>M;
④已知P>Q,则对任意的点M,都有P⊕M>Q⊕M;
⑤已知P>Q,则对任意的点M,都有P?M>Q?M
其中真命题的序号为①③④(把真命题的序号全部写出)

分析 ①已知P(2015,2014)和Q(2014,2015),由于2015>2014,即可判定出正误;
②若P>Q,则x<2015,或x=2015,且y<2014,即可判断出正误;
③设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),由P>Q,可得x1>x2或x1=x2,y1>y2.由Q>M,可得x2>x3或x2=x3,y2>y3.分类讨论,即可判断出正误.
④设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),则P⊕M=(x1+x3,y1+y3),Q⊕M=(x2+x3,y2+y3);
利用P>Q,可得x1>x2或x1=x2,y1>y2.即可判断出正误.
⑤设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),则P?M=x1•x3+y1•y3,Q?M=x2•x3+y2•y3,由P>Q,可得x1>x2或x1=x2,y1>y2,举反例即可判断出正误.

解答 解:①∵P(2015,2014)和Q(2014,2015),2015>2014,则P>Q,正确;
②已知P(2015,2014)和Q(x,y),若P>Q,则x<2015,或x=2015,且y<2014,因此不正确;
③设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),∵P>Q,∴x1>x2或x1=x2,y1>y2.∵Q>M,∴x2>x3或x2=x3,y2>y3.当x1>x2,且x2>x3,则x1>x3,∴P>M;
若x1=x2,y1>y2.且x2>x3或x2=x3,y2>y3.同理可得P>M.因此正确.
④设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),则P⊕M=(x1+x3,y1+y3),Q⊕M=(x2+x3,y2+y3);
∵P>Q,∴x1>x2或x1=x2,y1>y2.∴x1+x3>x2+x3或x1+x3=x2+x3,y1+y3>y2+y3,∴对任意的点M,都有P⊕M>Q⊕M,正确;
⑤设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),则P?M=x1•x3+y1•y3,Q?M=x2•x3+y2•y3,∵P>Q,∴x1>x2或x1=x2,y1>y2,当x1>x2时,取x1=2,x2=-1,x3=-3,y1=1,y2=-2,y3=-3,则P?M=x1•x3+y1•y3=-6-3=-9,Q?M=x2•x3+y2•y3=3+6=9,此时P?M>Q?M不成立;当x1=x2,y1>y2时,取x1=2=x2,x3=-3,y1=1,y2=-2,y3=-3,则P?M=x1•x3+y1•y3=-6-3=-9,Q?M=x2•x3+y2•y3=-6+6=0,此时P?M>Q?M不成立,因此不正确.
故答案为:①③④.

点评 本题考查了新定义“序”及其新运算,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

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