Question

5．设△ABC的三边a、b、c成等差数列，则tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$的值（　　）

• A． 3
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用切化弦以及等差数列，结合正弦定理以及三角形的内角和，两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=$\frac{sin\frac{A}{2}sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{C}{2}}$，△ABC的三边a、b、c成等差数列，a+c=2b，
sinA+sinC=2sinB，
2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$，
∵A+C=π-B 得cos$\frac{A-C}{2}$=2cos$\frac{A+C}{2}$，cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$，
3sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
于是tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，等差数列以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．