Question

【题目】已知圆，圆心为点，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点在圆上运动.

（l）求动点的轨迹的方程;

（2）若为曲线上任意一点，|的最大值;

（3）经过点且斜率为的直线交曲线于两点在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)3；(3) 存在,点

【解析】

（1）连接，根据中垂线性质可知，可得，满足椭圆定义；（2）根据（1）可知，点，是椭圆的焦点，所以，利用基本不等式求的最大值；（3）假设存在点，设，直线方程为，与椭圆方程联立，得，利用韦达定理得到，由

代入坐标表示，求.

解：（1）连接，是线段的垂直平分线：

点到两定点距离之和为定值，

点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为的椭圆，

动点的轨迹的方程为

（2）为曲线上任意一点，

，当且仅当时，等号成立

（3）假设存在点，设，直线方程为，代入椭圆方程，得

由

由于对任意恒成立，因此

恒成立

即恒成立

恒成立，因此

综上所述，存在点满足题意